Conditional Value-at-risk

Im vorletztem Blog wurde das Konfidenzniveau anhand eines einfaches Beispiels dargestellt und aufgezeigt, dass Erwartungswerte oder allgemein Zielgrössen unter Berücksichtigung von Simulationen immer als Bereichswerte aufgefasst werden sollten.

 

Ausgangslage zur Bildung der Bereichsgrenzen stellt die Standardabweichung dar, welcher universell zur Charakterisierung eines Lageparameters (wie etwa den Mittelwert) herangezogen wird. Bei Entscheidungen unter Unsicherheit interessiert aber oftmals ein bestimmter Schwellenwert, ab dem ein Unterfangen als riskant oder besonders lukrativ empfunden wird. Das 50%-Quantil (oder auch Sicherheitsniveau) liegt gerade in der Mitte einer Verteilung und teilt diese in die Bereiche auf, aus welcher risikoaverse oder risikofreudige Entscheidungen getroffen werden.

 

Gerade im Finanzmarktbereich haben sich in den letzten Jahren verschiedene weitere Lageparameter etabliert, welche hier in allgemeiner Form wiedergebeben werden. Das bekannteste dürfte der Value-at-Risk sein. In unserer Notation bezeichnet er den "Wert", der ab einem bestimmten Punkt einer Verteilung mit einer vorab definierten Sicherheit (umgangssprachlich und hier weiter mit Wahrscheinlichkeit bezeichnet) nicht überschritten wird. Dabei kann der Wert irgendeine Grösse darstellen: sei es der Gewinn, der Cash-Flow oder ein anderer Massstab, welchen es zu interpretieren gilt. So haben sich denn auch Begriffe wie "Earnings-at-risk" oder "Cash-Flow-at-risk" als Synonyme etabliert.

 

Schauen wir uns das im oben erwähnten Blog referenzierte Beispiel an, bei dem die gesuchte Grösse der Cash-Flow ist. Für die weitere Betrachtung haben wir den Cash-Flow weiterhin nach den zwei Bereichen unterteilt.

Um den Cash-Flow-at-risk zu identifizieren braucht es das Sicherheitsniveau, welchen wir auf 1% festlegen. Konkret sagt dann der Cash-Flow-at-risk aus, welcher Cash-Flow mit 99% Wahrscheinlichkeit nicht unterschritten wird. Technisch kann dies auch so erklärt werden:  Die aus einer Simulation resultierenden Ergebnisse werden aufsteigend sortiert und der Wert, bei dem 1% aller Ergebnisse durchlaufen sind, wird als die gesuchte Grösse identifiziert.

 

Aus einer Simulation mit 100'000 Iterationen resultiert folgendes Ergebnis:

Bei einem Sicherheitsniveau von 1% beträgt der Cash-Flow-at-risk knapp MCHF 8.8 (siehe Ergebnis zu Worst-Case, das Quantil von 0.01 entspricht dem 1% Sicherheitsniveau, grafisch entspricht es dem roten Balken). Es besteht somit eine 1%-ige Wahrscheinlichkeit, dass der Cash-Flow tiefer als der Cash-Flow-at-risk zu liegen kommt.

 

Wer nun fragt, warum die Simulation mit einer im Vergleich zu anderen Blogbeiträgen hoher Iterationsanzahl durchgeführt wurde, sei daran erinnert, dass der hier spezifizierte Cash-Flow-at-risk ein Art Jahrhundertereignis darstellt. Würden nur 1'000 Iterationen durchgeführt, wären gerade mal 10 Werte für das Sicherheitsniveau von 1% herangezogen worden. Mit 100'000 Iterationen sind es bereits 1'000 Werte, welches aus unserer Sicht eine genügend genaue Approximation darstellt.  

 

Eine Betrachtung der Cash-Flow-at-risk der einzelnen Bereiche zeigt folgendes Bild:

  • Cash-Flow-at-risk für Bereich 1: TCHF -269
  • Cash-Flow-at-risk für Bereich 2: TCHF 8'229

Die Summe der einzelnen Cash-Flow-at-risk (Bereiche 1 und 2) ist tiefer als der Cash-Flow-at-risk der gesamten Unternehmung. Dies entspricht dem Kriterium der Subadditivität, welches ein gutes Risikomass (Quelle Wikipedia, aufgerufen im November 2016) ausmachen sollte. Leider kann der Value-at-risk nicht immer das Kriterium der Subadditivität erfüllen. Und uns interessiert oftmals nicht der Schwellenwert, sondern die Verteilung der Werte unterhalb des Schwellenwertes. Denn wenn der "Worst-Case" eintritt, ist eher die Frage relevant, welcher erwartete Verlust damit einhergeht. Dies bringt uns zu der Kennzahl des "Conditional Value-at-risk" oder auch "expected-shortfall" (beide Kennzahlen sind bei stetigen Verteilungen identisch). Also einfach: Was ist der Erwartungswert aller möglichen Realisierungen unter der Bedingung, dass nur Werte sich angeschaut werden, die unterhalb des Schwellenwertes liegen?

 

Die Bestimmung des Conditional Value-at-risk ist denkbar einfach. Wir sortieren die Resultate aufsteigend und nehmen den Mittelwert aller Werte des Cash-Flow, welche geringer als MCHF 8'799 sind. Wie oben dargestellt, müssen 1'000 Werte dabei berücksichtigt werden. Und schon haben wir das Ergebnis: MCHF 8'507. Falls der wort-case eintreten sollte, beträgt der Cash-Flow durchschnittlich MCHF 8'507.

 

In unserem Beispiel bleibt dies alles ohne Folgen, da der Cash-Flow auch im Extremszenario positiv ist und damit die Liquidität eines Unternehmens kaum gefährden dürfte. Falls jedoch ein Minimum an Cash-Flows verdient werden muss (etwa MCHF 10), sieht die Situation wiederum komplett anders aus. Es kommt somit auf die Fragestellung an.  

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