Probabilistisch oder deterministisch?

Trotz der Einsicht, dass die Zukunft nicht vorhersagbar und somit die Zukunft als Wahrscheinlichkeitsverteilung aufzufassen ist, begegnen uns immer wieder Sachverhalte im ökonomischen Kontext, welche mit deterministischen Instrumente beschrieben werden. So etwa im Fall der Unternehmensplanung oder bei der Bewertung eines Geschäftsfalls. 

 

Was haben Unternehmensplanungen und Business Cases gemeinsam, um auf deterministische Instrumente abzustützen? In beiden Fällen sind Ziele Ausgangspunkt: Wie viele Mitarbeiter arbeiten gegen Ende Jahr noch im Unternehmen, wie hoch ist die Absatzmenge eines neuen Produktes im Jahr x, etc.? 

 

Analog einer Waage, was immer das gleiche Gewicht eines Steines (von den Unwägbarkeiten einer Messung und der Kalibrierung abgesehen) zu messen vermag, sind Planungen darauf ausgerichtet, Messungen durchzuführen. Im Planungssystem ist die Planzahl «x» eingetragen, welcher der tatsächlichen Realisierung «y» gegenübergestellt wird. Da wir im Nachhinein (ex-post) nur eine Zahl messen, erscheint es daher logisch auch nur eine Zahl als Prognose ex-ante zu nehmen. Entweder war die Umsatzmenge 100 oder 200 Einheiten, aber nicht vielleicht zwischen 100 und 200. Nun, das alles ist nicht verwerflich, wenn wir die Grenzen einer Waage und somit der deterministischen Planungsinstrumente kennen. So ist eine Waage auf einfache Strukturen ausgelegt und daher nur beschränkt in der Lage, Sachverhalte in die Zukunft zu projizieren: Ein Stein, der heute 100 Gramm wiegt, dem wird die Waage auch morgen noch 100 Gramm bescheinigen. Im ökonomischen Kontext sind diese Voraussetzungen aufgrund der uns umgebenden Komplexität jedoch nicht gegeben, womit das Zurückgreifen auf eine Zahl oder bildlich gesprochen auf die Waage schnell ins Verderben führen kann. 

 

Auch hier bemühen wir uns mit einem Beispiel um Aufklärung. Im folgenden Excel ist ein einfacher Geschäftsfall als Bestandteil eines Business Cases abgetragen (die deterministische Auslegung ist in Spalte B, die unterschiedlichen probabilistischen Auslegungen ab Spalte E ersichtlich).

 

Als Tragend werden nebst den Stückkosten die Absatzmengen und der Absatzpreis herausgeschält. Im Rahmen einer statischen «what-if» Sensitivitätsanalyse wird eine Variable (etwa die Menge ["Units"], siehe Zellen B30ff.) – unter Fixierung aller anderen Variablen - sukzessive um x% verändert und das damit verbundene Ergebnis (etwa der Umsatz, "Revenue") abgetragen oder gemessen. Diese vergleichende «what-if» Analyse zeigt den relativen Einfluss einer Variablen gegenüber allen andere Variablen auf und dient in vielen Unternehmen als Hilfsinstrument zur Entscheidungsfindung. Mit den Beizug dieser deterministischen «what-if» Analyse treten jedoch zwei Problemfelder auf: Zum einen ist eine «what-if» Analyse nicht unbeschränkt möglich, etwa weil Kapazitätsbeschränkungen vorliegen. Zum anderen führt eine Fixierung aller anderen Variablen im Regelfall zu einer proportionalen Beziehung zwischen der untersuchenden Variable und der gesuchten Grösse, was aber in der Realität nicht zutrifft. Die Volks- und die Betriebswirtschaftslehre hat wiederholt aufgezeigt, dass Beziehungen nicht linear sind (das berühmte Beispiel des fallenden Grenznutzens dürfte noch vielen zugänglich sein) und somit die deterministische «what-if» Analyse fehlgeleitet ist. Zudem ignoriert eine deterministische Sensitivitätsanalyse Abhängigkeiten zwischen den Inputvariablen. Zusammengefasst: Mit einer deterministischen «what-if» Analyse werden falsche Entscheidungen begünstigt. 

 

 

Stellvertretend für diesen Ansatz sind die Berechnungen in den Zellen B30ff., in welcher die Auswirkungen einer falschen Analyse ersichtlich sind. So wird eine Berechnung durchgeführt, in der die Absatzmenge 2 Mio. Einheiten betragen kann (siehe Zelle B37), während die maximale Absatzmenge nur bei 1.8 Mio. Einheiten (Zelle O6) liegt. Eine häufige komplementäre "what-if" Analyse ist der Beizug einer Gerade, welche hier für die Absatzmenge und Umsatz ab Zellen G35 durchführt wurde. Die Steigung der Gerade zeigt auf, dass für jede zusätzliche Absatzmenge eine Umsatzsteigerung von CHF 2 resultiert. Bei 1.2 Mio. verkauften Einheiten führt es somit zu einem Umsatz von CHF 2.4 Mio. (Zelle D35). Dies aber alles unter Ausblendung einer Preis-/Absatzfunktion, also von Abhängigkeiten. 

 

Die Lösung der beschriebenen Problemfelder führt uns geradewegs zur probabilistischen Auffassung (aka Monte-Carlo Simulation). Falls Kapazitätsbeschränkungen oder andere Restriktionen bindend sind, dann sollte es ein Einfaches sein, solche Schranken explizit zu berücksichtigen. Falls wir beispielsweise annehmen («beliefs»), dass die Nachfrage zwischen 1.2 Mio. und 1.8 Mio. Einheiten zu liegen kommt und diese auch produziert werden kann, was soll uns dann noch davon abhalten, diese Annahme als Wahrscheinlichkeitsverteilung aufzufassen? Wenn wir zusätzlich überzeugt sind, dass jede Einheit gleich wahrscheinlich ist, dann ist der Beizug einer Gleichverteilung naheliegend. Glauben wir hingegen, dass ein bestimmter Punkt besonders wahrscheinlich ist, ist die Dreiecks – oder PERT Verteilung zu empfehlen. Es steht und fällt alles mit den Annahmen. Das ist bei einer probabilistischen Auffassung genauso wie bei der deterministischen Modellbildung. Auch dort sind Annahmen zu treffen (die im Modell unterstellte und als realistisch eingestufte Absatzmenge von 1.5 Mio. [Zelle C5] als wahrscheinlichster Fall fällt nicht vom Himmel). 

 

Das zweite Problemfeld ist vereinfacht als «Ausblendung von Abhängigkeiten» zu subsummieren. Würden Sie einem Cappuccino beliebig Milch beifügen, ohne das Verhältnis zu den anderen Zutaten im Auge zu behalten? Wohl kaum. Während Sie aber beim Kochen auf einfache «Rezepte» (für 100 Gramm Mehl sind 20 Gramm Zucker zu verwenden) zurückgreifen können, sind – wie oben angerissen – sozio-ökonomische Effekte nicht auf einfache «wenn-dann» Beziehungen zu reduzieren. Jedes Unternehmen kennt es: Werden die Preise angehoben, werden einige Kunden/-innen das angebotene Produkt trotzdem nachfragen, andere nicht. Genau vorhersagen lässt sich das aber nicht. Aber es lassen sich plausible Annahmen herleiten. Diese können dann als Korrelation erfasst werden.

 

Schauen wir uns eine solche Korrelation – dargestellt als Punktwolke unter Zugrundlegung einer Normal-Copula - zwischen Preis und Menge anhand unseres obigen Beispiels an. Bei einem Preis von CHF 2.2 (obere Grenze) wird die Nachfrage wahrscheinlich sehr gering ausfallen, bei einem Preis von CHF 1.8 (untere Grenze) wird hingegen eine hohe Nachfrage angenommen. Bei einem Preis von CHF 2 (Mittelwert) ist sowohl eine hohe als auch eine tiefe Nachfrage annähernd gleich wahrscheinlich. Das ist dann plausibel, wenn bereits andere Anbieter das gleiche Produkt zum selben Preis anbieten. Ohne Differenzierungsmöglichkeit müssen Sie damit rechnen, dass die Nachfrage in diesem Preissegment mit hoher Unsicherheit behaftet ist. 

Bei der Erstellung von Business Cases als auch bei der Unternehmensplanung liegen im Regelfall keine oder nur beschränkt Daten vor, womit anhand von Annahmen Korrelationen «erdacht» werden müssen. Die Kunst liegt daran, die richtigen Abhängigkeiten zu identifizieren und adäquat quantifiziert zu beschreiben. 

 

Exkurs: Bei vielen Entscheidungsträgern ruft gerade diese Dimension - die Erhebung von Korrelationen - Unmut hervor, womit oftmals auf eine Simulation verzichtet wird. Wir entgegnen: Eine Simulation kann auch ohne Korrelationen durchgeführt werden, aber der Beizug einer Korrelation zeugt zusätzlich von einem tiefen Verständnis des eigenen Geschäftsmodells. Wer es schafft Korrelationen sinnvoll einzubauen, legt glaubhaft dar, dass es die eigenen Prozesse, die Interaktion mit der Umwelt (Regulierung, Konkurrenz, Lieferanten etc.) versteht und somit sein Unternehmen "im Griff" hat. 

 

Dass sich hierbei genauso wie bei der deterministischen Betrachtung Fehleinschätzungen ergeben können, wird nicht abgestritten. Die Fehler einer "falschen" Auswahl einer Verteilungsfunktion halten sich dabei - je nach Situation - aber in Grenzen. Schauen wir uns die resultierende Korrelation zwischen Preis und Umsatz, jeweils bei einer angenommenen Gleichverteilung ("Probabilistic I"), einer Normalverteilung ("Probabilistic II") und einer Dreiecksverteilung ("Probabilistic III") der Variablen Preis ("P_x") und Absatzmenge ("Units_x") an. 

In allen Fällen ist ersichtlich, dass mit zunehmendem Preis die Absatzmenge sinkend ist, was auf die Korrelation zwischen Preis und Absatzmenge zurückgeführt werden kann. Die Struktur und Intensität ist aber unterschiedlich. Schaut man sich die Regressionsgeraden an, dann relativieren sich die Unterschiede: die Steigung ("Regression parameter") der hypothetischen Regressionsgerade bei gleichverteilten Variablen ("P_1", "Revenue_1") weicht nicht erheblich (unter 10% Abweichung) von der Steigung bei Annahme normalverteilter Variablen ("P_2", "Revenue_2") ab. Die Dreiecksverteilung ("P_3"; "Revenue_3") reiht sich dabei in der Mitte ein. Info: Die folgende Darstellung erhalten Sie durch Export der Daten und anschliessender Analyse dieser, siehe Ribbon Feld "Correlations and sensitivities".

Erkenntlich bei der probabilistischen Analyse ist, dass die Daten um eine hypothetische Regressionsgerade streuen. Die Streuung ist Ausdruck von Unsicherheit*. Wir können somit bei einem Preis von CHF 2 pro Einheit nicht mit Sicherheit sagen, dass der Umsatz bei genau CHF 3 Mio. zu liegen kommt. Als Ausweg und eigentliche Aussage verbleiben wahrscheinlichkeitsorientierte Begriffe, wie Grad der Sicherheit. Wird unterstellt, dass die Variablen einer Gleichverteilung folgen, dann können wir zu 95% sicher sein, dass der Gewinn ("Revenue_1") zwischen CHF 2.6 Mio. und CHF 3.3 Mio. zu liegen kommt (siehe folgende Graphik unter "Lower l." und "Upper l."). Auch die Ergebnisse bei unterstellter Normalverteilung oder Dreieckverteilung weichen - wie dargestellt - nicht erheblich ab**. 

Von weiterem Vorteil der probabilistischen Auffassung über die Monte-Carlo Simulation sind die umfangreichen ex-post Analysemöglichkeiten, wie das in MC FLO enthaltende bootstrap-Verfahren, welches das Vertrauensintervall beliebiger Lageparameter - wie dem Erwartungswert - darzustellen vermag. So sehen wir in allen drei Fällen, dass mit 95% Sicherheit der Erwartungswert nicht an die CHF 600'000, welcher mit der deterministischen Analyse ohne Korrelation berechnet wurde, heranreicht.  

Wie dargestellt erlaubt die probabilistischen Auffassung die Definition einer ex-ante Bandbreite, in welcher unser Wissen und Glauben verankert ist. Sollte im Rahmen einer ex-post Messung ein Wert ausserhalb der Bandbreite resultieren, kann das adaptierte Wissen für zukünftige Planungen einfliessen. Dieser Qualitätsscheck bleibt dem deterministischen Modell prinzipiell verwehrt, da nur ein Punkt als Referenzgrösse angegeben wird. 

 

Die gemachten Ausführungen helfen hoffentlich, die probabilistische Modellbildung breiter zu verankern. Sie ist - nach unserer Auffassung - die einzig richtige Antwort auf eine durch VUCA geprägte Welt. Denn es gilt: Die Vergangenheit ist deterministisch, die Zukunft hingegen probabilistisch. 

 

P.S.: MC FLO unterstützt Sie zum Glück in beidem. Durch die Fixierung von Variablen (auf ihren Erwartungswert) können Sie ein probabilistisches rasch in ein deterministisches Modell überführen. 

 

*Eine andere Interpretation von Unsicherheit in unserem Beispiel ist folgende: Es gibt sehr viele Faktoren, die auf die Nachfrage einzahlen. Diese Faktoren können Sie aber nicht in einem Modell abbilden, da sonst das Modell an Übersichtlichkeit und Auditfähigkeit verliert. Die nicht im Modell abgebildete Residualgrösse verbleibt somit als Unsicherheit.  

 

**Vorsicht ist jedoch bei der Analyse von Extremereignissen, wie dem Value-at-risk oder auch dem Conditional-Value-at-risk geboten. 

 

Update 17.02.2021: Natürlich lassen sich Preis-/Absatzfunktionen auch ohne Korrelationen allein über algebraische Ausdrücke herleiten, wie dies für die variablen Kosten im Modell vorgenommen wird. Liegen Angaben aus der Vergangenheit vor, wird dabei feststellen, dass die Daten nicht dem anvisierten Verlauf folgen und auch hier um eine hypothetische Linie schwanken.  

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