Wurzel-T Regel - Von der Mücke zum Elefanten

Können Sie sich noch an das im letzten Blog vorgestellte Konzept des Value-at-risk und der dort diskutierten Beispiele erinnern? Gut so. Denn genau hier setzen wir wieder an. 

 

Im besagten Blog wurde ein Modell vorgestellt, welches anhand der Abweichungen eines Tages eine Prognose auf den relevanten Stichtag anhand der Wurzel-T Regel erstellt hat. Tja, und damit haben wir den Stein ins Rollen gebracht.  

 

Eine gängige Suche über eine bekannte Suchmaschine mit den Stichwörtern "square-root-of time-rule" (englische Übersetzung dieser Pandora Box) brachte hervor, was wir geahnt hatten: Die Wurzel-T Regel kann nur in Ausnahmefällen, quasi unter Laborbedingungen angewandt werden.    

 

Was bedeutet es konkret? Auch hier der Versuch einer einfachen Darstellung. Stellen Sie sich vor, dass Sie an einem Montag den Materialbestand ihres Lagers für das Ende der Woche bestimmen möchten. Heute haben Sie 12 Teile auf Lager. Jeden Tag kann ein Teil hinzukommen oder eins vom Lager entnommen werden. Nach einem Tag haben Sie somit 11 oder 13 Teile. Wie sieht es nach 5 Tagen aus? Können es 7 oder doch gar 17 Teile sein? Wenn wir die Teileveränderung eines Tages als Volatilität des Lagerbestandes interpretieren und diese mit 1% ansetzen, läge die Volatilität nach 5 Tagen unter der Annahme von Linearität somit bei 5% (also 1% mal 5). Wenn wir jedoch davon ausgehen, dass die Teilzufuhr oder Teileentnahme als unabhängiges Ereignis aufgefasst werden kann (oder anders ausgedrückt: jeden Tag wird neu gewürfelt), ist kaum davon auszugehen, dass in 5 aufeinanderfolgenden Tagen ausschliesslich der "schlechte" Zustand zum Vorschein kommt und wir somit am Ende der Woche nur noch 7 Teile haben. Die Multiplikation der Tagesvolatilität mit der Anzahl Tage ist augenscheinlich ein schlechter Schätzer. Es kann gezeigt werden, dass die Multiplikation der Tagesvolatilität mit der Wurzel der Anzahl Tage in diesem Fall der beste Schätzer der 5 Tages Volatilität darstellt. Die Wurzel-T Regel als Skalierungsfaktor berücksichtigt dabei, dass nur mit einer geringen Wahrscheinlichkeit nur gute oder nur schlechte Zustände in 5 aufeinanderfolgenden Tagen auftreten können - wie gesagt, Unabhängigkeit vorausgesetzt. In der Praxis bleibt die Wurzel-T Regel daher auf die Zeitreihe der geometrisch brownschen Bewegung reduziert. 

 

Wenn es nun alternativ möglich ist, dass die Teilentnahme mit der Zeit korreliert oder die Volatilität über den Zeitablauf unterschiedlich hoch ausfällt, kommt die Wurzel-T Regel schnell an ihre Grenzen und wird - gelinde gesagt - unbrauchbar.

 

Wie sieht dies aus? Im folgenden Beispiel haben wir zwei Zeitreihen gegenübergestellt; die geometrisch-brownsche Bewegung (GBM) und den ARCH(1) Prozess, einmal für eine Haltedauer von 1 Tag und alternativ für 10 Tage. Nach einer Simulation mit 50'000 Iterationen sehen wir die resultierenden Volatilitäten (Standardabweichung) der beiden Verteilungen. Wie ersichtlich, beträgt die Volatilität der geometrisch-brownschen Bewegung) nach 10 Tagen genau der Volatilität eines Tages multipliziert mit dem Ergebnis aus Wurzel 10. Hingegen wird beim ARCH(1) Prozess eine Standardabweichung von ca. 1.81 berechnet, währenddem anhand der Wurzel-T Regel eine solche von 1 zu erwarten wäre. 

Auf Basis dieser Erkenntnis zeigen wir Ihnen nachfolgend die Schritte zu Bestimmung des Value-at-risk eines Portfolios mit MC FLO und unter Berücksichtigung von Korrelationen (mehrere Beispiele und eine ausführlichere Beschreibung haben wir unter der Sektion Beispiele abgelegt): 

 

a) Berechnen Sie anhand einer Simulation den Value-at-risk für einen Tag mit dem gesuchten Konfidenzniveau aber ohne Berücksichtigung von Korrelationen. 10'000 Iterationen sollten bereits genügen. Notieren Sie sich das Resultat, am besten im Modell. 

b) Vollziehen Sie die gleiche Berechnung wie a), nun aber mit der gesuchten Anzahl Tage (oder allgemein Zeitintervall). Das Ergebnis von b) geteilt durch das Ergebnis von a) ergibt dann den gesuchten Skalierungsfaktor.  Bemerkung: Für die geometrisch-brownsche Bewegung können wir diesen Schritt überspringen, da die Skalierung ja der Wurzel-T Regel entspricht. 

c) Berechnen Sie wieder den Value-at-risk für einen Tag, diesmal mit den gewünschten Korrelationen und dem vorab berechneten Skalierungsfaktor, um zum gewünschten Ergebnis zu kommen.

 

Natürlich können Sie die Skalierung auch manuell, also mathematisch, bestimmen und entsprechend berücksichtigen. 

Portfolio und Simulationen value-at-risk

Das oben skizzierte Vorgehen stellt sicher, dass Sie Zeitreihen unter Berücksichtigung von Korrelationen und einem beliebigen Zeitintervall analysieren können. 

     

 

Update: Für den interessierten Leser ist beispielsweise folgender Artikel zur Wurzel-T Regel zu empfehlen: Diebold, Francis X. et al. (1998): "Converting 1-Day Volatility to h-Day Volatility: Scaling by Root-h is Worse than You Think," Wharton Financial Institutions Center, Working Paper 97-34.

 

Update: 22.11.2018: Einfaches Beispiel eingefügt. 

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