Wurzel-T Regel - Von der Mücke zum Elefanten

Können Sie sich noch an das im letzten Blog vorgestellte Konzept des Value-at-risk und der dort diskutierten Beispiele erinnern? Gut so. Denn genau hier setzen wir wieder an. 

 

Im besagten Blog wurde ein Modell vorgestellt, welches anhand der Abweichungen eines Tages eine Prognose auf den relevanten Stichtag anhand der Wurzel-T Regel erstellt hat. Tja, und damit haben wir den Stein ins Rollen gebracht.  

 

Eine gängige Suche über eine bekannte Suchmaschine mit den Stichwörtern "square-root-of time-rule" (englische Übersetzung dieser Pandora Box) brachte hervor, was wir geahnt hatten: Die Wurzel-T Regel kann nur in Ausnahmefällen, quasi unter Laborbedingungen angewandt werden.    

 

Was bedeutet es konkret? Auch hier der Versuch einer einfachen Darstellung. Stellen Sie sich vor, dass Sie an einem Montag den Materialbestand ihres Lagers für das Ende der Woche bestimmen möchten. Heute haben Sie 12 Teile auf Lager. Jeden Tag kann ein Teil hinzukommen oder eins vom Lager entnommen werden. Nach einem Tag haben Sie somit 11 oder 13 Teile. Wie sieht es nach 5 Tagen aus? Können es 7 oder doch gar 17 Teile sein? Wenn wir die Teileveränderung eines Tages als Volatilität des Lagerbestandes interpretieren und diese mit 1% ansetzen, läge die Volatilität nach 5 Tagen unter der Annahme von Linearität somit bei 5% (also 1% mal 5). Wenn wir jedoch davon ausgehen, dass die Teilzufuhr oder Teileentnahme als unabhängiges Ereignis aufgefasst werden kann (oder anders ausgedrückt: jeden Tag wird neu gewürfelt), ist kaum davon auszugehen, dass in 5 aufeinanderfolgenden Tagen ausschliesslich der "schlechte" Zustand zum Vorschein kommt und wir somit am Ende der Woche nur noch 7 Teile haben. Die Multiplikation der Tagesvolatilität mit der Anzahl Tage ist augenscheinlich ein schlechter Schätzer. Es kann gezeigt werden, dass die Multiplikation der Tagesvolatilität mit der Wurzel der Anzahl Tage in diesem Fall der beste Schätzer der 5 Tages Volatilität darstellt. Die Wurzel-T Regel als Skalierungsfaktor berücksichtigt dabei, dass nur mit einer geringen Wahrscheinlichkeit nur gute oder nur schlechte Zustände in 5 aufeinanderfolgenden Tagen auftreten können - wie gesagt, Unabhängigkeit vorausgesetzt.  

 

Wenn es aber nun möglich ist, dass die Teilentnahme mal 2 oder 3 und die Teilezunahme nur 1 betragen kann und/oder die Teileveränderung über die Zeit gar umkehren oder ganz anders kommen kann, kommt die Wurzel-T Regel schnell an ihre Grenzen und wird - gelinde gesagt - unbrauchbar.    

 

Was können wir tun? Eine erste Überlegung besteht darin, komplizierte Formeln heranzuziehen oder alternativ spielerisch mit einer Simulation einen geeigneten Vorschlag zu unterbreiten. Wir ziehen die Simulation vor. Eine Simulation ist zudem dann hilfreich, wenn auch Korrelationen berücksichtigt werden müssen. Hier zeigen wir Ihnen die Schritte für den zweiten Ansatz zur Bestimmung des Value-at-risk mit MC FLO (mehrere Beispiele und eine ausführlichere Beschreibung haben wir unter der Sektion Beispiele abgelegt): 

 

a) Berechnen Sie anhand einer Simulation den Value-at-risk für einen Tag mit dem gesuchten Konfidenzniveau aber ohne Berücksichtigung von Korrelationen. 10'000 Iterationen sollten bereits genügen. Notieren Sie sich das Resultat. Am besten im Modell.

b) Vollziehen Sie die gleiche Berechnung, nun aber mit der gesuchten Anzahl Tage (oder allgemein Zeitintervall). Das Ergebnis von b) geteilt durch das Ergebnis von a) ergibt dann den gesuchten Skalierungsfaktor.  

c) Berechnen Sie wieder den Value-at-risk für einen Tag, diesmal mit den gewünschten Korrelationen und dem vorab berechneten Skalierungsfaktor, um zum gewünschten Ergebnis zu kommen.

Portfolio und Simulationen value-at-risk

Dieses Vorgehen stellt sicher, dass Sie Zeitreihen unter Berücksichtigung von Korrelationen und einem beliebigen Zeitintervall analysieren können. Wir geben zu: ideal ist dieser Zustand für den Benutzer nicht. Aber wir arbeiten daran es einfacher zu machen.

 

P.S: In einem anderen Blog haben wir dargelegt, dass Korrelationen je nach Verteilung der Eingangsvariablen den Erwartungswert der gesuchten Grössen beeinflussen können. Der oben dargestellte Lösungsvorschlag ist somit als Annäherung zu klassifizieren. 

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