Series temporales - nota sobre el movimiento browniano geométrico

De algunos clientes nos han llegado incógnitas sobre el manejo de MC FLO con series temporales. En el presente blog llegaremos a la raíz de las preguntas típicas acompañados por un simple ejemplo.

 

De antemano queremos mencionar que con MC FLO hemos creado un producto que es muy fácil de usar y que debería seguir siéndolo en el futuro. Por lo tanto, evitamos conscientemente fórmulas o construcciones que causan muchos dolores de cabeza en el uso diario con Excel. Como tal, llama la atención la función de matrices, con la cual es posible agrupar valores en cadena. Considerables desventajas de las función de matrices son el manejo complejo y la falta de transparencia sobre la determinación de los elementos individuales de una matriz. Evitando las función de matrices en MC FLO requiere por supuesto formas alternativas al determinar un modelo que incorpore la incertidumbre de manera adecuada.

 

Echemos un vistazo al siguiente ejemplo:

Usted tiene la tarea de planificar las ventas de un producto para los próximos cinco períodos. Tanto el precio como la cantidad se consideran inciertas. Para el volumen asuma una distribución lognormal, en cuanto a la evolución del precio se inclina hacia un movimiento browniano geométrico con un valor inicial de 100 (todos los parámetros se pueden tomar del Excel adjunto). Los profesionales de Excel esperarán que la evolución de los precios se resuelva usando la función de matrices en las columnas E7: I7. No es así en nuestro caso.


Con MC FLO tiene varias opciones para eludir la función de matrices y aún así asegurarse de una derivación sólida de un movimiento browniano geométrico siguiendo unos simples pasos en Excel.

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Time series - some notes with regard to the geometric Brownian motion

From some customers we received questions about the correct handling of MC FLO in the context of time series. In the present article we will deepen the typical questions with a simple example concerning the geometric Brownian motion.


With MC FLO we have created a product that is very easy to use, and we are convinced that it should remain so in the future. Therefore, we consciously avoid formulas or constructs that cause many headaches in daily use with Excel. It strikes out, that the array formula is such an example. Disadvantages of array functions are the cumbersome handling and the lack of transparency about the determination of the individual elements of an array. With the omission of array functions in MC FLO, therefore, other ways must be taken.

 

Let's us look at the following example:
You have the task to plan the sales of a product for the next five periods. Both the price and the quantity are considered uncertain. For the quantity you assume a lognormal distribution. For the price, you want to assume a geometric Brownian motion with starting value 100 (all parameters can be taken from the enclosed Excel). Excel professionals would now expect that the price path is modeled using an array function in lines E7: I7. Not so with MC FLO.
With MC FLO you have several options to bypass the array function and to map a robust derivation of the geometric Brownian motion series with simple steps in Excel, at least as an approximation.

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Zeitreihen - richtig einsetzen

Von einigen Kunden haben wir Rückfragen zu der Handhabung von MC FLO mit Zeitreihen bekommen. Im vorliegenden Beispiel gehen wir anhand eines einfachen Beispiels den typischen Fragestellungen auf den Grund.


Mit MC FLO haben wir ein Produkt erstellt, das kinderleicht zu bedienen ist und es auch in Zukunft bleiben soll. Daher verzichten wir bewusst auf Formeln oder Konstrukte, die im täglichen Gebrauch mit Excel bei vielen Kopfzerbrechen bereitet. Als Paradebeispiel kann die Array-Funktion genannt werden, mit der sich logisch angeordnete Werte in Excel darstellen lassen. Gewichtige Nachteile von Array-Funktionen sind die umständliche Handhabung und die fehlende Transparenz über die Ermittlung der einzelnen Elemente eines Arrays bei einer Simulation. Mit dem Verzicht auf Array-Funktionen in MC FLO müssen daher andere Wege bei der Modellbildung eingeschlagen werden.


Schauen wir hierzu folgendes Beispiel an:

 

Sie haben als Aufgabe den Umsatz eines Produktes für die nächsten fünf Perioden zu planen. Sowohl der Preis als auch die Menge gelten als unsicher. Für die Menge unterstellen Sie eine Lognormal-Verteilung. Für die Preisbildung wollen Sie eine geometrische brownsche Bewegung mit Startwert 100 annehmen (alle Parameter können dem beigelegten Excel entnommen werden). Excel-Profis würden nun erwarten, dass diese mittels Array Funktion in den Zeilen E7:I7 einzutragen ist. Nicht so bei uns. 

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El modelo de medias móviles - qué casualidad

En uno de nuestros últimos blogs hemos profundizado el modelo de series temporales AR (autorregresivo), ilustrando un ejemplo práctico de cómo se implementa el método del los momentos en MC FLO. En este apartado lo vamos a hacer para las medias móviles, abreviado MA.

 

Un proceso del MA(1) de primera orden se compone de un valor, lo podemos llamar valor esperado, y un componente al azar, que se imponen al valor esperado. Lo especial acerca de un proceso de MA(1) es que los componentes al azar están correlacionados entre sí mismos y no los valores observables como ocurre en el modelo AR. 

 

Veamos un ejemplo del proceso MA(1): Imagínese un vendedor de cápsulas de café y que el promedio de ventas por periodo es de 200.000. Aparte de la venta directa, también ofrece sellos de cupones (con fecha de vencimiento) con la intención de promover las ventas y éstos son distribuidos por terceros. Cada promoción de cupón puede diseñarse individualmente y combinarse con otros productos. Por lo tanto, no puede controlar directamente el mercado de cupones para sus cápsulas. En el caso del modelo MA(1) y relacionado con el mercado de las cápsulas se ha de considerar por lo tanto que la venta está relacionada con el número de campañas de cupones en el período actual, y con una ponderación dependiendo asimismo de la campaña del período anterior.

 

En el siguiente Excel hemos preparado la lógica de MC FLO en relación con el modelo MA(1). En la columna B hemos proyectado 35 números aleatorios normales con una media de 50.000 y una desviación estándar de 5.000. El proceso MA(1) debe diseñarse de manera que el valor medio del componente fundamental sea 200.000 y el número aleatorio del período anterior se incluya con un peso de 0,6. Con esto, hemos reproducido el ejemplo descrito anteriormente. La columna C recoge estos números aleatorios y usa la fórmula ingresada en la celda A1 para trazar el proceso de MA(1) correspondiente. Para el theta, es decir, el peso del período anterior, se muestra un valor de 0,09 usando el método del los momentos y una cantidad de 7.623 para la desviación estándar. La determinación de los parámetros a través de MC FLO proporciona los mismos resultados. Comparado con los parámetros reales de 0,6 y 5.000, observamos entonces una desviación relativamente alta. 

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The moving average model - behind the scenes

In one of our last blogs (in german) we have deepened the AR (auto-regressive) time series model and presented a practical example in relation to the method of moments implemented in MC FLO. At this point we would like to do the same for the MA (moving-average) time series process.


An MA process of first order consists primarily of a recurring constant value - the expected value - and a random component at each period, which correlates over the course of time and superimposes the expected value. The special feature of an MA process is therefore the unobservable and correlated random values. Here's an example: Imagine you sell coffee capsules and the average sales is 200,000. In addition to the direct sale, you also offer coupon stamps (with expiration date), which should promote sales and which are promoted by third parties. Each coupon promotion can be individually designed by the third party and coupled with other products. Thus, you cannot directly control and monitor the market for vouchers for your capsules. In the case of an MA(1) model, therefore, the sales in the current period will be based on the number of coupon campaigns in that period and with a weighting on the coupon campaign of the last period (that is, coupons issued in the last period will be redeemed in the this period).

In the following Excel we have prepared the logic of MC FLO in relation to the MA(1) model. In column B we have depicted 35 normal random numbers with a mean of 50,000 and a standard deviation of 5,000. The MA process should be designed such that the expected value is 200,000 and the random number of the previous period is included with a weight of 0.6. With this we have reproduced the above described coffee example. Column C picks up these random numbers and uses the formula entered in cell A1 to map the corresponding MA(1) process. For the theta - the weight of the previous period - a value of 0.09 is shown by the method of moments and an amount of 7'623 for the standard deviation. The determination of the parameters using MC FLO supplies the same numbers. Compared to the real parameters of 0.6 and 5'000 this reflect a relatively high deviation. To validate the method of moments, we can use the better estimation method "maximum likelihood". For this we used the open source tool "gretl". In this case the theta is 0.48 and a standard deviation of 7'767 is determined.At least in terms of the weighting (theta), the maximum likelihood is superior to the method of moments. 

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Update Santiago IIIa

Wieder haben wir MC FLO verbessert

  • Verschachtelte Zeitreihen für AR(1) und Wiener Prozess verbessert
  • Anzahl Variablen für Zeitreihen von 100 auf 200 erhöht
  • Inputvariablen, Korrelationen und die Resultate aus dem Vorschaumodus können als Hintergrundbild in der entsprechenden Zelle als Kommentar hinterlegt werden
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Unternehmensplanung mit Simulationen II

Im folgend erwähnten Blog haben wir Ihnen anhand der Auslastungsplanung eines Hotelmanagers die verschiedenen Simulationsmöglichkeiten, insbesondere die automatisierte Prognose, von MC FLO vorgestellt. Was liegt nicht näher, als die neue Funktion für die Unternehmensplanung einzusetzen und somit über einen rollierenden Forecast Erkenntnisse zum Betriebsertrag, den Aufwand, das Ergebnis oder anderer finanzieller Kennzahlen zum Geschäftsjahr zu gewinnen? 

 

Stellen wir uns vor, dass die Ist-Zahlen zum Ertrag, Aufwand und anderer Kennzahlen des laufenden Jahres bis Juli vorliegen und Sie die Aufgabe haben, einen Forecast EoY (end of year) beginnend mit August zu erstellen. Und dies bitte monatlich bis einschliesslich November. In der klassischen Planung werden Forecasts oftmals unter Einbezug der relevanten Anspruchsgruppen erstellt, welche die Treiber anhand der aktuellen Geschäftsentwicklung anpassen und diese Informationen im Planungsrahmen dann unter Einschluss möglicher Ursache-/Wirkungsbeziehungen konsolidiert werden. Als Vorteil dieser bottom-up Planung kann die Mitgestaltung durch die Mitarbeiter und die Berücksichtigung aller möglichen detaillierten Informationen genannt werden, welcher jedoch mit einer trägen, ressourcenfressenden Organisation bezahlt werden muss. Zudem ist eine solche Planung sehr zeitaufwendig und somit für eine rollierende Planung nicht geeignet.

 

Als Alternative zur bottom-up Planung kann der top-down Ansatz genannt werden, welcher auf Basis aggregierter Informationen eine Schätzung zukünftiger Ereignisse ermöglicht. Dabei wird unterstellt, dass die Summe aller möglichen Einzelfälle in Aggregation als Ausdruck eines Zufallsprozesses interpretiert werden kann. Auch hier der Versuch einer einfachen Analogie. Stellen wir uns vor, dass wir als Hersteller von Konservengemüse eine Prognose zum Gesamtumsatz aller Produkte zu machen haben. Jeder einzelne Produktmanager wird für die verschiedenen Gemüsevariationen I, II, III, etc. im Einzelfall eine sehr gute Prognose abgeben können. Aber keiner wird in der Lage sein den Gesamtumsatz zu ermitteln, da in der Aggregation von vielen Produkten das spezifische Einzelwissen eines konkreten Produktes nicht mehr zum Tragen kommt. In der Summe bilden sich hingegen andere Muster, welche mit analytischen Methoden, meist mit maschinellen Lernen assoziiert, erkannt und für die Prognose heranzogen werden können. Dieser Makro oder auch Helikopterblick erfordert für die Orientierung offenkundig andere Instrumente als Verfahren, welche sich im Mikrokosmos der Einzelprodukte als geeignet erweisen. Genau hier setzen wir mit MC FLO auf die Zeitreihenprozesse, welche bestimmte wiederkehrende Muster erkennen und diese für die Prognose heranziehen (Zeitreihenprozesse sind für alle Arten einer Analyse einer Zeitreihe grundsätzlich geeignet und ermöglichen somit auch die Prognose eines konkreten Produktes). Sowohl moving-average, auto-regressive (in Kombination ARMA) als auch exotischere Prozesse wie ARCH oder auch die geometrisch-brownsche Bewegung werden dabei in MC FLO unterstützt.

 

Mit der Batch-Funktion bieten wir neu in MC FLO die Möglichkeit, diese wiederkehrende Muster mit einem Mausklick automatisch zu erkennen und mittels einer Simulation eine Prognose zu erstellen. In einer unserer Blogs haben wir unser Tool zur treiberbasierten und simulationsgestützten Unternehmensplanung vorgestellt, welches wir nun angepasst und analog unser obiger Darstellung um ein Ist/Plan Prognose erweitert haben. In der Tabelle «Konsolidiert» ist dabei die Summe aller Geschäftsfälle mit den entsprechenden Kennzahlen pro Monat zusammengefasst. 

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Automated forecasts - so easy with MC FLO

In MC FLO you have three possibilities to make a Monte Carlo simulation. The first can be called the classic mode. Here, you define the input variables window-based or graphically and specify the output variables linking the desired cells in the Excel workbook. After the simulation, you receive the results in a separate Excel workbook, which you can integrate into any other workbook or make it available to others. With the second mode - the preview mode - you can preview the simulation results of all input variables and correlations according to the specification of the model and, by clicking on the corresponding output variable, you can also preview the simulation results of the output variables. With "Copy + Paste" you have no limits to copy the results (such as the percentiles) without having to start the classic simulation run. For time series, however, this step can be tedious, since a process must first be defined for the historical data, and only then a calculation can be triggered. For a well-founded prognosis, which should be executed without any identification of other statistical key figures, we offer starting from version Santiago III also a batch function, which carries out the steps described above automatically.

 

Assume that you as a hotel manager have collected the occupancy of your hotels for the months March 2017 - March 2018 on a weekly basis and you want to make an occupancy forecast for the next seven weeks, using the last week as the basis for ordering the goods and scheduling (the Excel can be found here, all labels are in german instead).

 

Starting with Excel 2016, you can use the "forecasting tool" function, which uses triple exponential smoothing as an example of a deterministic procedure (in the example below, we have introduced the function "= FORECAST.ETS (DU3; $ E$4:$DZ$4;$E$3:$DZ$3)», starting with line DU20). In many cases, exponential smoothing as an ad hoc prognosis is perfectly adequate. However, if you want to examine the internal structure of the data in more detail, gain insights into the logic of the process, and easily create a risk-based forecast, we recommend that you analyze the data using a time series process as implemented in MC FLO.

 

A time series is captured as an object of two parts: a basic component (such as the mean) and an invisible random component that overlays the fundamental component. Sometimes these random components correlate over time (which establishes a moving average process [MA]) or the observed data points correlate directly with each other (which corresponds to an auto-regressive process [AR]). A combination of both defines the ARMA process. In AR, MA or in general the ARMA processes, it is necessary that they have no trend or seasonal effects. If this is the case, the time series should be transferred to a stationary time series (see also our blog, in german), which we ignore here.
 
In the development of MC FLO we are guided by daily practice and this undoubtly means that the path of least resistance has to be taken. So it is often the case that a prognosis is made periodically for a fixed number of data points and that the forecast should be automated. In our case, a new prognosis for the following seven weeks should be carried out next week. Since forecasts in the context of a simulation should always be understood as a concept of bandwidth planning, an ad-hoc forecast should be used as flexibly as possible and using risk-related statements ("probability") for confidence leves. Heard, done.

 

In our hotel example, we've added the new function implemented with Santiago III: "= fMC_Batch_Time ($E$4:$ZZ$4;7;1;0;10000;0.95)" with the appropriate parameters in line 25. This has the task to create a prognosis for the next seven periods from the existing actual numbers of lines E to ZZ. A time process should be used, which minimizes the Akaide information criterion. Or to put it simply: A process should be selected which manages our time series data with as few parameters as possible. In addition, the 95% percentile should be used for 10'000 iterations. This is equivalent to the statement that there is a 95% certainty or confidence that the occupancy figures do not exceed the stated limit. This is an important benchmark for planning, as incorrect planning can lead to food or personnel bottlenecks. In the present case, there is a "probability" of 5% that the demand for a particular week can be higher than the calculated value. Obviously, this example outlines that the value-at-risk is not limited to financial securities alone.

When defining a process, it makes sense that the data is processed graphically, checked in advance and proofed for consistency after being executed. Although MC FLO automatically uses a linear regression to make a decision, we recommend a check. In this case, we have taken the structure of the actual data as an indication that using an ARMA process is appropriate. If this is not the case, MC FLO automatically proposes the geometric brown motion or the ARCH(1) process as an alternative.

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Update Santiago

Wissenswertes: 

  • Das Akaide Informationskriterium ist nun für stationäre Zeitreihen verfügbar
  • Ein potentiell kritischer Bug bei Zeitreihen wurde behoben (Zufallsgenerator wurde bei Aktivitäten mit Excel während eines Simulationslaufs übersprungen, so dass falsche Zeitreihen resultieren konnten) 
  • Bessere Unterstützung für Mehrkernprozessoren
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Neue Version Santiago - New Version Santiago - Nueva versión Santiago

Erleben Sie unsere neue Funktionen: 

  • Nutzen Sie den magischen Strich, um Verteilungen und deren Werte visuell nachzuvollziehen. So können Sie noch schneller Anpassungen vornehmen 
  • Analysieren Sie graphisch die Resultate vor einem kompletten Simulationslauf - bis zu 10x schneller
  • Nutzen Sie unsere optimierte Schätzfunktion noch effizienter. Wählen Sie anhand des Akaide Informationskriterium die für Sie beste stetige Verteilungsfunktion aus 
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Value-at-risk und Conditional-Value-at-risk mit Zeitreihen

In einem der letzten Blogs haben wir Ihnen das Konzept des Value-at-risk vorgestellt. Hier möchten wir dies nochmals und unter Berücksichtigung von Zeitreihen aufgreifen und darlegen, wie Korrelationen sinnvoll in MC FLO eingesetzt werden können. 

 

Intermezzo: Den Artikel haben wir ursprünglich in spanischer Sprache veröffentlicht. Einige Beschriftungen von Excel und die Grafiken von MC FLO erscheinen daher auf Spanisch.  

 

Gehen wir ans Eingemachte. Wir möchten den Value-at-risk nach 10 Handelstagen bei einem Konfidenzniveau von 99% eines Portfolios ermitteln, der aus den Titeln Gold und Silber zusammengesetzt ist. Bevor wir die Kalkulation näher beschreiben, möchten wir Ihnen den Sinn des Value-at-risk anhand einer einfachen Überlegung darlegen. Stellen Sie sich vor, dass Ihr Vermögen aus Wertschriften (etwa Aktien) besteht und Sie in einigen Tagen den Kauf eines Objektes (etwa einer Firma) planen. Den Kaufpreis möchten Sie durch Verkauf oder Übertragung der Wertschriften tätigen. Damit der Partner mit einem guten Gefühl auf das Geschäft eingeht, möchte er sicherstellen, dass Sie am Transaktionstag (hier in 10 Tagen) über die notwendige Liquidität verfügen. Mit dem Value-at-risk gemäss obiger Darstellung hat er eine Gewissheit von 99%, dass die Wertschriften nicht unter einen gewissen Betrag (etwa dem Verkaufspreis) fallen. 

 

Mit Datum von 11. August 2017 wurde der Goldpreis mit US$ 1'289.2 und Silber mit US$ 17.11 per Feinunze gehandelt. Unser Portfolio besteht aus jeweils 500 Wertschriften pro Titel, womit ein Vermögen von US$ 653'155 resultiert (der Einfachhalt halber bleiben wir bei US$, kürzen dies aber auf $). Der Value-at-risk kann alternativ wie folgt interpretiert werden: Wir möchten den Wert unseres Portfolios nach 10 Handelstagen ermitteln, bei dem noch eine "Wahrscheinlichkeit" von 1% besteht, dass Wert unter dem Value-at-risk (VaR) fällt. 

 

Um zur Antwort zu gelangen, müssen wir die Preise von Gold und Silber näher untersuchen. Unten sehen Sie die historische Entwicklung der beiden Titel über das letzte Handelsjahr. Das Modell können Sie hier nachvollziehen. Da Gold und Silber nicht immer bewertet werden, haben wir die Tage, an denen nicht beide Titel gehandelt wurden, aus der Datenbasis gefiltert. Auf dieser Basis haben wir dann die Korrelation (mittels des Ansatzes von Spearman) dieser beiden Titel ermittelt (0.77). 

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Notas sobre el valor en riesgo o mejor dicho valor en riesgo condicional

En un blog hemos mencionado la utilidad del concepto del valor en riesgo. Algunos lectores nos pidieron una reflexión del tema en nuestro idioma, que aquí proporcionaremos.

 

El valor en riesgo de una cartera se puede definir como “la pérdida máxima en la que podría incurrir una cartera en un plazo determinado con un nivel de confianza estadística dado” (véase: “Más allá del valor en riesgo (VeR): el valor condicional”, https://www.researchgate.net/publication/28186191_Mas_alla_del_valor_en_riesgo_VeR_el_VeR_condicional).


Vamos al grano. Nos gustaría saber cuál es el VeR para una cartera compuesta por dos títulos, en concreto una cartera sencilla compuesta por el oro y la plata. Con fecha del 11/08/2017 el oro se cotizaba a 1.289,2 dólares por onza, la plata a 17,11 dólares. Nuestra cartera está compuesta por 500 títulos de cada una, con lo cual se obtiene un valor de $653.155 a finales del 11/08/2017. Queremos saber cual es el VeR de nuestra cartera después de 10 días laborales con un nivel de confianza estadística del 99%. Lo cual se traduce también de forma siguiente: Queremos saber el valor de la cartera después de 10 días laborales, donde existe todavía una probabilidad del 1% que las pérdidas sean mayor que el VeR.

 

Bien, para llegar a una respuesta tendremos que analizar los datos brevemente. En primer lugar hemos extraído los precios diarios de ambos títulos del último año y eliminado todos los días donde uno de los dos títulos no se cotizaban en bolsa. El resultado se ve en el archivo anexo. Dado que los títulos quedan normalizados (para cada día analizado tenemos los correspondientes precios) podemos calcular la correlación empírica, que en este caso la haremos con el coeficiente de correlación de rango (Spearman). 

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Unternehmensplanung - mit Simulationen!

Die simulationsbasierte Unternehmensplanung kann mit Forecasts optimal kombiniert werden. Wie dies in MC FLO kinderleicht umgesetzt werden kann, sehen Sie hier.


Stellen wir uns vor, dass wir die Unternehmensplanung inklusive Budget für dieses Jahr anhand einer Simulation bereits erstellt haben. Für die Investitionen des Geschäftsfalls 2 («GF 2») haben wir einen Betrag von ca. 3.1 MCHF an aktivierungsfähigen Leistungen (CAPEX) vorgesehen und diesen linear auf die einzelnen Monate verteilt, woraus ein Investitionswert von TCHF 262.5 pro Monat resultiert (gewiss, kein grosser Betrag - aber es geht uns darum das Prinzip darzustellen). Nun haben wir den Monat Juli abgeschlossen und folgende Investitionen wurden bis dato registriert:

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Optionen - mit Simulationen!

Auch wir können die Zukunft nicht vorhersagen. Wenn wir es könnten, wären wir nicht hier und würden diesen Artikel schreiben. Na ja, nicht ganz. Wir lieben die Welt der Simulationen und entdecken mit ihr immer wieder neue Facetten. Auch solche, die wir nicht genau kennen aber trotzdem Spass machen können. Da kommen uns Optionen gerade recht. 

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Korrelationen und Simulationen II

Im letzten Blog haben wir dargestellt, wie Korrelationen auch mittels Rängen dargestellt werden können. Unbeantwortet ist aber geblieben, wie Korrelationen in MC FLO bei der Simulation gebildet werden. Falls Sie die Antwort interessiert, sollten Sie weiterlesen.

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Neue Version Sotelo III / New version Sotelo III/ Nueva versión Sotelo III

Sehen Sie hier, welche Neuerungen MC FLO in Sotelo III umgesetzt hat.

Discover which new great features have been introduced with our version MC FLO Sotelo III. 

Descubre las nuevas posibilidades que la nueva versión de MC FLO Sotelo III aporta. 

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Simulaciones Monte Carlo – guía práctica

Una búsqueda por Internet con las claves “monte carlo simulación” nos proporciona cerca de 200 mil resultados (búsqueda efectuada con google, junio de 2017). En la mayoría de los casos los correspondientes artículos se centran en las virtudes matemáticas. Aunque es cierto que las raíces de la técnica Monte-Carlo provienen de éstas, nos centramos aquí en los aspectos prácticos.

 

Ante todo queremos resumir los casos donde una simulación Monte-Carlo puede resultar ser muy útil. 


• Estimar la gama de posibles resultados antes de tomar una decisión
• Pronosticar resultados financieros
• Estimar la duración de un proyecto
• Simplemente comprender la variabilidad en un proceso o sistema
• Encontrar problemas en un proceso o sistema.

 

Básicamente la simulación consiste en asignar valores aleatorias a variables dentro de un rango especificado. Antes de entrar en grano con un ejemplo más versátil, mostraremos la esencia básica de antemano.


Supongamos que haya una tienda que vende entre 120 y 190 pares de zapatos cada mes y que por cada par de zapatos vendido obtiene un beneficio de 20 Euros. El rango de beneficio oscila entonces entre 120 x 20 = 2.400 Euros y 190 x 20 = 3.800 Euros. Una simulación recurre ahora a los números aleatorios para asignar diferentes números de pares de zapatos a los beneficios correspondientes. Imaginémonos entonces que una simulación con 5 iteraciones nos haya proporcionado los siguientes resultados:

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Von Korrelationen - Pearson vs. Spearman

Kennen Sie die Excel-Funktion «=KORREL»? Wenn nein, dann schauen Sie mit Neugier weiter und wenn ja, machen Sie es den anderen gleich. Vielleicht erfahren Sie etwas Neues.

 

Daten sind Informationen. Daraus Wissen zu generieren eine Königsdisziplin. Der klassische Fall: Gibt es zwischen Daten eine Beziehung, welche wir für die Erklärung eines zukünftigen Sachverhaltes heranziehen können? Dabei ist die Kausalitätsfrage gewiss die Entscheidende. Aber: auch reine Beziehungen (Korrelationen) helfen uns bereits weiter.

 

Sehr oft gibt es zwischen Preis und Absatzmenge eine negative Korrelation. Erhöhen wir den Preis eines Produktes, sinkt die Nachfrage nach diesem Produkt. Die wahren Beweggründe sind dabei sehr oft unklar. Zum einen kann es einfach sein, dass die Kunden für ein Produkt ein festes Budget vorhalten und bei Preiserhöhungen somit weniger konsumieren. Es kann aber auch sein, dass höhere Preise neue Konkurrenten anlocken und die gleiche Menge sich dann auf mehrere Anbieter verteilt. Oder allein aufgrund von Präferenzänderungen kann sich auch unabhängig von der Preisgestaltung eine Nachfrageverschiebung ergeben. Umgekehrt sind ebenfalls Ursache-Wirkungsbeziehungen begründbar. Eine Erhöhung der Absatzmenge kann zur Überflutung eines Produktes führen, was Preissenkungen zur Folge haben kann. Daher ergeben sich bei Beobachtungen sehr viele mögliche Ausprägungen bei der Kombination Preis und Menge.  

 

Wie bereits in anderen Beiträgen dargestellt, wird eine Beziehung zwischen Daten mittels einer Korrelation festgehalten, welche in Excel über die «KORREL» Funktion aufgerufen wird. Wir erinnern uns, dass der Korrelationskoeffizient einen Wert zwischen -1 und +1 einnehmen kann.

 

Im folgenden Beispiel haben wir diese Korrelationsbeziehung anhand der Datenmenge «D_1» und «D_2» dargestellt. Zum einem haben wir die Excel-Funktion «KORREL» auf die Daten angesetzt und zum anderen diese Funktion mittels des «Pearson» Korrelationskoeffizienten über ganz einfache Excel-Formeln hergeleitet («Pearson-Excel»). Beide Werte stimmen überein (-0.84). In Excel wird vorderhand der Pearson Ansatz umgesetzt. 

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Planificación de proyectos - con simulaciones

La planificación de proyectos es la disciplina clave por la cual las simulaciones han encontrado entrada en la práctica diaria. Dado que se va a crear algo nuevo, las actividades individuales, su duración y, en última instancia, los costes están inmersas en un mundo de incertidumbre. Adicionalmente, suelen ocurrir eventos inesperados que conllevan un impacto singular. Aquí nos gustaría saber si un proyecto se completa antes de una fecha concreta.

 

Imaginemos que debemos implementar un proyecto según la siguiente la especificación (en inglés). Por ejemplo, puede tratarse de una excavación para encontrar minerales. A parte de una fase preparatoria se han de tomar medidas de comunicación por antemano. Estos están destinados a informar a la población y así prevenir el rechazo del proyecto. Se espera además una condición "mala" con un 10% de probabilidad durante la perforación, lo que aumenta el coste de la fase de realización en un 25%. Sin embargo, se supone que el incremento de costes no tenga efecto sobre la duración de la misma. Por otra parte, se estima que el éxito de la comunicación está relacionado negativamente con la realización de la excavación propia. Una comunicación "mala" u omitida conduce a protestas de la población afectada, con el propósito de bloquear las vías de acceso y obstaculizar así el trabajo posterior. Por otra parte, una ejecución penosa de la fase de realización también tiene una correlación positiva con los costes de comunicación «ex post». Se podrá imaginar en éste caso que la población teme efectos secundarias que el apartamento de comunicación debe de desestimar. Ambas relaciones queden definidas en el apartado "Correlación". Se supone que los factores de correlación se hayan obtenido mediante un análisis empírico.

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Project planning - with simulations

Project planning is the key discipline by which simulations have found entrance into daily practice. Since something new is to be created, the individual activities, their duration and ultimately the costs are associated with great uncertainty. Additionally, unexpected events may occur with a singular impact on certain variables. Here we would like to know if a project is completed before a certain date.

 

Let us imagine that we must implement a project according to the specifications below for a test drilling. A tricky project, of course. Starting with the preparatory phase, communication measures have to be implemented in advance. These are intended to enlighten the population and thus prevent a rejection of the project. A "bad" condition is expected with a 10% probability during the drilling, which increases the cost of the realization task by 25%. However, we expect that this has no effect on the duration of the realization task. On the other hand, it is assumed that the success of the ex-ante communication is negatively correlated with the realization task. A "bad" or omitted communication leads to protests of the affected population, which may block the access roads and thus hinder further work. And, a high duration of the realization task also has a positive correlation with "ex-post" communication measures. Both correlation relationships have been defined under "Correlation" and we asume that both values have been derived from past data. 

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Projektplanung – mit Simulationen

Die Projektplanung ist das Paradebeispiel, mit der Simulationen Eingang in die tägliche Praxis von Unternehmen gefunden haben. Da ja etwas Neues geschaffen werden soll, sind die einzelnen Aktivitäten, deren Dauer und letztendlich die Kosten mit grosser Unsicherheit verbunden. Sehr oft treten unerwartete Ereignisse auf, welche besondere Auswirkungen auf bestimmte Variablen ausüben. Hier möchten wir erfahren, ob ein Projekt vor einem bestimmten Datum fertig erstellt ist. 

 

Gehen wir nun ans Eingemachte: Stellen wir uns vor, dass wir ein Projekt gemäss untenstehender Spezifikation (auf Englisch) umzusetzen hätten. Beispielsweise kann es sich um eine Probebohrung handeln. Neben der Vorbereitungsphase sind vorab Kommunikationsmassnahmen geplant. Diese sollen die Bevölkerung aufklären und somit Einsprachen verhindern. Bei der eigentlichen Bohrung wird mit 10%-Wahrscheinlichkeit ein «schlechter» Zustand erwartet, welcher die Kosten der Realisierung um 25% erhöht. Zu denken ist dabei an eine sandige Unterschicht, welches zusätzliche Abstützungsmassnahmen erfordert. Auf die Dauer der Realisierung soll dies aber keinen Einfluss haben. Hingegen wird davon ausgegangen, dass der Erfolg der ex-ante

Kommunikationsmassnahme negativ mit der Realisierungsdauer in Zusammenhang steht. Eine «schlechte» oder unterlassene Kommunikation führt dann zu Protesten der betroffenen Bevölkerung, welche die Zufahrtstrassen blockieren und somit die weiteren Arbeiten behindern. Andererseits hat eine hohe Dauer der Realisierung auch eine positive Korrelation mit «ex-post» Kommunikationsmassnahmen.  Beides wird mittels expliziter Korrelationsbeziehung (unter Correlation) dargestellt, wobei die Korrelationskoeffizienten anhand vergangener Daten ermittelt wurden. 

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Neue Version Sotelo / New version Sotelo / Nueva versión Sotelo

Sehen Sie hier, welche Neuerungen MC FLO in Sotelo umgesetzt hat.

Discover which new great features have been introduced with our version MC FLO Sotelo. 

Descubre las nuevas posibilidades que la nueva versión de MC FLO Sotelo aporta. 

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Warum die Multiplikation bei Risiken für Ärger sorgen kann

Auch wenn Monte-Carlo Simulationen ein hilfreiches Instrument darstellen, sind bei der Modellierung Stolpersteine aus dem Weg zu räumen. Ein Problemfall stellt in vielen Fällen die Multiplikation von zwei unsicheren Variablen dar. Warum, zeigen wir Ihnen hier.  

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Simulationsbasierte Unternehmensplanung

Die integrierte Planung als funktionales Zusammenspiel von Ergebnisrechnung, der Bilanz und der Cash-Flow Rechnung gewinnt immer mehr an Bedeutung. Unterstützt wird dieses Phänomen durch den treiberbasierten Ansatz, welcher die Planung auf die wesentlichen Ursache-Wirkungsbeziehungen reduziert. Im Zuge der zunehmenden Volatilität ist es jedoch angebracht, die integrierte Planung mit Simulationen zu verknüpfen. Wie das an einem Beispiel mit MC FLO konkret funktioniert, zeigen wir Ihnen hier.   

 

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Wettbewerb: Gewinnen Sie eine Gratis-Lizenz

In eigener Sache: Die Entwicklung von MC FLO schreitet stetig voran. Neu haben wir eine Live-Vorschau der Eingangsvariablen umgesetzt. Wer diese noch versteckte Funktion in der aktuellen MC FLO Version findet, hat die Chance auf den Gewinn einer zeitlich unbeschränkten Gratis-Lizenz der Vollversion von MC FLO.

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Reduktion auf das Wesentliche

Sehr oft sehen wir Modelle, welche eine Vielzahl von Variablen aufweisen, deren Erklärungskraft fragwürdig sind und die Interpretation eines bestimmten Sachverhaltes unnötig erschweren. Umgekehrt gibt es Variablen, die alles überstrahlen. Mit der Fixierung von Variablen bei einer Monte-Carlo Simulation kann untersucht werden, was passieren würde, wenn sich diese temporär ihrer Unsicherheit entsagt hätten.  

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MC FLO disponible en castellano

Nos complace presentarles MC FLO en versión castellana. Nuestro compromiso sigue vigente: queremos hacer las simulaciones Monte-Carlo lo más fácil posible. Por eso creamos MC FLO.  

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Complexity and simulations, incompatible?

As practical experience suggets, Monte Carlo simulations are often associated with an increase in complexity. We find that instruments such as Monte Carlo simulations can neither increase nor reduce complexity.   

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Komplexität und Simulationen, unvereinbar?

Im praktischen Kontext werden Monte-Carlo Simulationen oftmals mit einer Erhöhung der Komplexität assoziiert. Wir finden, dass Instrumente wie Monte-Carlo Simulationen die Komplexität weder erhöhen noch reduzieren können. Doch der Reihe nach.

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Simulationen und Portfolios

Unternehmen streben nach Gewinn, Investoren nach Rendite. Es ist wohl den Arbeiten des Ökonomen Harry M. Markowitz (Quelle: wikipedia, aufgerufen im Januar 2017) geschuldet, dass wir heute viel über das Verhalten von Investoren wissen. Mittels Simulationen lässt sich dieses in ihrer Grundform auch spielerisch nachvollziehen.

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Neue Version MC FLO Lumeares / New Version MC FLO Lumeares

Wir freuen Ihnen die neue Version MC FLO - Version Lumeares vorzustellen. Mit MC FLO ist es noch einfacher alle relevanten Daten einer Monte-Carlo Simulationsberechnung von einem Programm aus zu steuern.

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Planen in Szenarien

In nahezu allen Bereichen der Planung wird vermehrt von der reinen punktbezogenen Planung abgewichen und stattdessen eine szenarienbasierte Vorgehensweise eingeschlagen. Neben dem wahrscheinlichsten Fall („real case“), der im Grunde genommen der Fortführung des aktuellen Zustands entspricht, werden mindestens zwei weitere Szenarien – etwa ausgedrückt als „worst case“ und „best case“ in die Planung aufgenommen.

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Von Risiken und Portfolios

In der Praxis hat sich die Darstellung und Klassifizierung von Risiken offenkundig anhand des Risikoatlas (Risikomatrix) durchgesetzt (eine Abfrage mittels der Suchmaschine Google liefert für die Suche "Risk-Map Controlling" ca. 2.6 Millionen Treffer, November 2016). Schauen wir uns hierzu ein einfaches Beispiel an:   

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Conditional Value-at-risk

Im vorletztem Blog wurde das Konfidenzniveau anhand eines einfaches Beispiels dargestellt und aufgezeigt, dass Erwartungswerte oder allgemein Zielgrössen unter Berücksichtigung von Simulationen immer als Bereichswerte aufgefasst werden sollten.

 

Ausgangslage zur Bildung der Bereichsgrenzen stellt die Standardabweichung dar, welcher universell zur Charakterisierung eines Lageparameters (wie etwa den Mittelwert) herangezogen wird. Bei Entscheidungen unter Unsicherheit interessiert aber oftmals ein bestimmter Schwellenwert, ab dem ein Unterfangen als riskant oder besonders lukrativ empfunden wird. Das 50%-Quantil (oder auch Sicherheitsniveau) liegt gerade in der Mitte einer Verteilung und teilt diese in die Bereiche auf, aus welcher risikoaverse oder risikofreudige Entscheidungen getroffen werden.

 

Gerade im Finanzmarktbereich haben sich in den letzten Jahren verschiedene weitere Lageparameter etabliert, welche hier in allgemeiner Form wiedergebeben werden. Das bekannteste dürfte der Value-at-Risk sein. In unserer Notation bezeichnet er den "Wert", der ab einem bestimmten Punkt einer Verteilung mit einer vorab definierten Sicherheit (umgangssprachlich und hier weiter mit Wahrscheinlichkeit bezeichnet) nicht überschritten wird. Dabei kann der Wert irgendeine Grösse darstellen: sei es der Gewinn, der Cash-Flow oder ein anderer Massstab, welchen es zu interpretieren gilt. So haben sich denn auch Begriffe wie "Earnings-at-risk" oder "Cash-Flow-at-risk" als Synonyme etabliert.

 

Schauen wir uns das im oben erwähnten Blog referenzierte Beispiel an, bei dem die gesuchte Grösse der Cash-Flow ist. Für die weitere Betrachtung haben wir den Cash-Flow weiterhin nach den zwei Bereichen unterteilt.

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Die Projekte sind schuld!

Es gibt wohl wenige Paradedisziplinen, bei denen Simulationen so eindrucksvoll eingesetzt werden können, wie bei der Projektplanung. Projekte kennzeichnen sich im Kern dadurch aus, dass die meisten mit der Durchführung relevanten Tätigkeiten ungewiss sind, mit unsicheren Auswirkungen hinsichtlich Dauer als auch der Kosten. Hinzu kommt, dass Projekte durch umfangreiche und komplizierte Verträge zwischen Auftraggeber und Auftragnehmer gezeichnet sein können, um die Unwägbarkeiten (oder auch den Schleier der

Ungewissheit) und die Folgen davon ex-ante möglichst genau zu beschreiben. Da aber was Neues, bisher nicht Dagewesenes erbracht werden soll, können die Verträge zwischen den Parteien nur unvollständig sein. Nachverhandlungen sind üblich und an der Tagesordnung.

 

Gehen wir davon aus, dass ein Projekt zur Ausschreibung ansteht und der potentielle Auftragnehmer vor der Problemstellung steht, ob und mit welchem Angebot die Antragsunterlagen eingereicht werden sollen.

 

Dabei (in diesem Beispiel natürlich wieder sehr vereinfacht dargestellt) stellt er folgende Überlegungen an und überträgt dies in ein Modell

  • Im ersten Schritt nach Gewinn der Ausschreibung werden Nachverhandlungen geführt. Der Ausgang der Nachverhandlung beeinflusst die Dauer von Task 1.
  • Der Start von Task 3 beginnt erst, nachdem x-Tage seit Abschluss des Task 2 verstrichen sind.
  • Die Dauer der Tasks folgt unterschiedlichen Verteilungen. Hingegen werden die Kosten pro Tag als Gleichverteilung mit unterschiedlichen Schwellenwerten angenommen.  
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Zurück zu den Wurzeln

In den letzten Beiträgen wurden Simulationen in verschiedenen Konstellationen vorgestellt.

Ihnen allen gemeinsam ist, dass Simulationen die heute noch gängige Punktbetrachtung um eine weitere Dimension ergänzen. Anstatt von Punkten reden wir bei Simulationen von Bereichen oder Bandbreiten. Bevor wird dies konkretisieren, sollten wir vor Auge halten, dass eine Simulation im Kern eine Stichprobe darstellt. Egal, ob nun 100 oder 100'000 oder Millionen von Iterationen durchgeführt werden. Ausser in wenigen trivialen Bereichen wird eine Simulation nicht alle möglichen Fälle einfangen können. Das sollte uns bewusst sein. Dies bringt uns unweigerlich zur Frage, wie genau denn nun eine Stichprobe ist. Diese Frage zu beantworten ist nicht einfach, denn sie hängt davon ab, wie die (unbekannte) Grundgesamtheit zusammengesetzt ist. Im bekanntesten Fall – der Normalverteilung – haben wir aber bereits in Excel das notwendige Werkzeug, um dies beantworten zu können.

 

Schauen wir uns daher folgendes Beispiel an und unterstellen, dass die gesuchte Grösse - der Cash-Flow (CF) -  einer Normalverteilung folgt.

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Von Planzahlen

In der Planung stehen Entscheidungsträger ständig vor der Frage, welcher Betrag eingestellt werden soll; sei es beim Umsatz, Menge, den Kosten oder dem schlussendlich entscheidenden Gewinn. Als Grundlage der Planung werden häufig vorab Annahmen

hinsichtlich Marktstruktur, Preisen, Löhnen als auch dem Wettbewerb getroffen

und diese mittels Verknüpfungen in Excel logisch zusammengefasst. Aus dieser notwendigerweise resultierenden Punktbetrachtung werden dann die Planwerte als Vorgabe übernommen.

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Eine Reise zum Zentralen Grenzwertsatz

Im letzten Blog wurde dargelegt, warum Simulationen sinnvoll sind. In der täglichen Praxis erleben wir allerdings, dass Simulationen oftmals nicht eingesetzt werden. Als Begründung wird hierbei das Fehlen an Wissen und Daten genannt, was eine Parametrisierung erschwere. Wir denken, dass diese Begründung fadenscheinig ist. Letztlich müssen aus welcher Quelle auch immer Annahmen getroffen werden – und sei es, dass diese aus dem „hohlen Bauch“ entstammen. Dokumentieren lassen sich auch diese allemal. Nein, wir denken, dass viele Leute sich implizit an ein Gesetz klammern, dass die Monte-Carlo Simulation in der Tat fasst überflüssig machen würde: dem Zentralen Grenzwertsatz. Aus Wikipedia stammt diesbezüglich folgende Definition: „Bei den Zentralen Grenzwertsätzen handelt es sich um eine Familie schwacher Konvergenzaussagen aus der Wahrscheinlichkeitstheorie. Allen gemeinsam ist die Aussage, dass die Summe einer großen Zahl von unabhängigen Zufallsvariablen asymptotisch einer stabilen Verteilung folgt. Bei endlicher und positiver Varianz der Zufallsvariablen ist die Summe annähernd normalverteilt, was die Sonderstellung der Normalverteilung erklärt. (Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Zentraler_Grenzwertsatz, aufgerufen im Oktober 2016).

 

 

Etwas einfacher formuliert klingt es so: In einem Modell gibt es sehr viele unbestimmte Variablen, die irgendwelchen Verteilungen folgen und von denen wir annehmen, dass diese – ganz wichtig - unabhängig voneinander sind. Wenn dies alles zutrifft, dann ist die gesuchte Grösse in der Summe normalverteilt. Oder noch einfacher: Nimm einfach die Mittelwerte der unbestimmten Variablen und Du hast das gesuchte Ergebnis.

 

 

Sehen wir uns hierzu folgendes einfaches Beispiel an. Die gesuchte Grösse Gewinn entspricht der Formel „Menge * Preis – Stückkosten  * Menge – F&E – Verwaltungskosten“. Die Menge wird mittels einer Dreiecksverteilung und der Preis anhand einer Gleichverteilung modelliert.

 

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Des Pudels Kern

Stellen Sie sich vor, dass Sie eine Investition tätigen wollen. Aber es gibt Unsicherheiten über die möglichen zukünftigen Zustände. Nun gut. Die Welt ist voll davon und bisher haben Sie Entscheide auch ohne Simulationen treffen können. Aber wissen Sie, wie gut Sie jeweils lagen?

 

Bei der traditionellen Investitionsberechnung ermitteln Sie einen "Punkt" als Barwert, einen der vielen möglichen Zustände. Ist dieser Barwert positiv, sollten Sie die Investition durchführen, andernfalls nach einer Alternative Ausschau halten. Leider können Sie diesen Punkt nicht zuordnen. Da helfen auch die gängigen, auch als Punktschätzung vorgenommenen Szenarioberechnungen wenig. 

 

So können Sie keine Aussage darüber treffen, mit welcher Wahrscheinlichkeit der ermittelte Punkt über - oder untertroffen werden kann. Wäre es Ihnen nicht wohler, wenn Sie wüssten, mit welcher Sicherheit die Investition profitabel ist oder ob der Barwert einen bestimmten Wert nicht unterschreitet?

 

Genau hier geben Ihnen Simulationen Hilfestellung. Anstatt drei oder vier Berechnungen durchzuführen, kann eine Simulation mühelos tausende von Berechnungen durchspielen und die jeweiligen Resultate statistisch auswerten.  

 

Schauen wir das in der DEMO Version von MC FLO integrierte Beispiel an. Im Mittel sollte der Barwert (im Englischen als NPV bekannt) bei TCHF 125 liegen (siehe rot hinterlegte Zelle). Nach Adam Riese würden Sie die Investition durchführen. 

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MC FLO bestellbar

Monte Carlo Simulationen

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