Value-at-risk und Conditional-Value-at-risk mit Zeitreihen

In einem der letzten Blogs haben wir Ihnen das Konzept des Value-at-risk vorgestellt. Hier möchten wir dies nochmals und unter Berücksichtigung von Zeitreihen aufgreifen und darlegen, wie Korrelationen sinnvoll in MC FLO eingesetzt werden können. 

 

Intermezzo: Den Artikel haben wir ursprünglich in spanischer Sprache veröffentlicht. Einige Beschriftungen von Excel und die Grafiken von MC FLO erscheinen daher auf Spanisch.  

 

Gehen wir ans Eingemachte. Wir möchten den Value-at-risk nach 10 Handelstagen bei einem Konfidenzniveau von 99% eines Portfolios ermitteln, der aus den Titeln Gold und Silber zusammengesetzt ist. Bevor wir die Kalkulation näher beschreiben, möchten wir Ihnen den Sinn des Value-at-risk anhand einer einfachen Überlegung darlegen. Stellen Sie sich vor, dass Ihr Vermögen aus Wertschriften (etwa Aktien) besteht und Sie in einigen Tagen den Kauf eines Objektes (etwa einer Firma) planen. Den Kaufpreis möchten Sie durch Verkauf oder Übertragung der Wertschriften tätigen. Damit der Partner mit einem guten Gefühl auf das Geschäft eingeht, möchte er sicherstellen, dass Sie am Transaktionstag (hier in 10 Tagen) über die notwendige Liquidität verfügen. Mit dem Value-at-risk gemäss obiger Darstellung hat er eine Gewissheit von 99%, dass die Wertschriften nicht unter einen gewissen Betrag (etwa dem Verkaufspreis) fallen. 

 

Mit Datum von 11. August 2017 wurde der Goldpreis mit US$ 1'289.2 und Silber mit US$ 17.11 per Feinunze gehandelt. Unser Portfolio besteht aus jeweils 500 Wertschriften pro Titel, womit ein Vermögen von US$ 653'155 resultiert (der Einfachhalt halber bleiben wir bei US$, kürzen dies aber auf $). Der Value-at-risk kann alternativ wie folgt interpretiert werden: Wir möchten den Wert unseres Portfolios nach 10 Handelstagen ermitteln, bei dem noch eine "Wahrscheinlichkeit" von 1% besteht, dass Wert unter dem Value-at-risk (VaR) fällt. 

 

Um zur Antwort zu gelangen, müssen wir die Preise von Gold und Silber näher untersuchen. Unten sehen Sie die historische Entwicklung der beiden Titel über das letzte Handelsjahr. Das Modell können Sie hier nachvollziehen. Da Gold und Silber nicht immer bewertet werden, haben wir die Tage, an denen nicht beide Titel gehandelt wurden, aus der Datenbasis gefiltert. Auf dieser Basis haben wir dann die Korrelation (mittels des Ansatzes von Spearman) dieser beiden Titel ermittelt (0.77). 

Im Nachgang haben wir die Preisentwicklung mit MC FLO analysiert- zum einen direkt anhand der realisierten Preise und zum anderen anhand der logarithmierten Renditen. In beiden Fällen kommen wir zum Schluss, dass die Verteilungen nicht einer Normalverteilung folgen (die Kurtosis ist deutlich über 3), womit wir den Zeitprozess ARCH als Ausgangsbasis bilden wollen. Hierzu greifen wir auf die einfache Differenz zwischen den Preisen zwischen jeweils zwei Handelstagen auf, um den VaR zu bestimmen.

Hier sehen wir den Zeitreihenprozess, welchen MC FLO vorgeschlagen hat. 

Unter der Annahme, dass die Zeitreihe nicht der Normalverteilung folgt, sind Aussagen zum möglichen Preis in der Zukunft nicht ohne Weiteres möglich, womit wir auf eine Simulation zur Bestimmung des VaR zurückgreifen. In der Praxis ist zudem häufig zu beobachten, dass mehrere Modelle herangezogen werden, was wir auch hier empfehlen. Neben dem ARCH (1) Modell (mit 10 Handelstagen) haben wir alternativ einen ARCH (1) Prozess mit einem Handelstag herangezogen und diesen dann mittels der Wurzel-T Regel auf die 10 Handelstage hochgerechnet. Dieser Ansatz führt je nach Modell zu einer Überschätzung des VaR, jedoch sind wir hier in der Lage die Korrelation zwischen Gold und Silber explizit zu berücksichtigen (Korrelationen können in MC FLO nicht auf mehrere Vorkommnisse pro Iteration gebildet werden).

 

Da wir nicht in der Lage sind, die Hypothese der Normalverteilung zu 100% auszuschliessen oder alternativ den Beweis zu erbringen, dass das ARCH (1) Modell mit den definierten Parametern den wahren Prozess (heute und zukünftig) widerspiegelt, wird als Ergänzung ein Wiener Prozess (welcher über MC FLO hergeleitet wurde) und der in MC FLO enthaltende Black-Scholes-Merton Ansatz herangezogen. 

 

So - nun können wir die Simulation starten, welchen wir vorliegend mit 100'000 Iteration durchführen, was uns als genügend genaue Approximation erscheint. 

Hier sehen wir die Ergebnisse:

Modell VaR (99% Konfidenzniveau)
ARCH (1) $ 39'416
ARCH (1), mit Korrelation

$ 42'443

Wiener Prozess $ 22'131
Black-Scholes-Merton $ 30'769

Wenn wir den ARCH (1) Prozess als Massstab nehmen, kann der VaR auch wie folgt gedeutet werden: Es besteht eine "Wahrscheinlichkeit" von 1%, dass der Wert unseres Portfolios nach 10 Handelstagen unter $613'739 ($653'155 - $39'416) liegen wird, vom 11 August an gerechnet. 

 

Um die einzelne Modelle zu überprüfen, haben wir diese einem Backtesting unterzogen, also den VaR für die historischen Daten berechnet, wobei wir die Tage zwischen dem 08.12.2016 und 11.08.2017 herangezogen haben (die Excel-Formel "Arbeitstag" ist nicht gleich Handelstag im US-amerikanischen Raum, auf diese Finesse sind wir hier nicht eingegangen). Es wurden somit 193 Tage überprüft. 

Modell Anzahl Fehler (in Prozent)
ARCH (1) 0 (0%) 
ARCH (1), mit Korrelation 0 (0%)
Wiener-Prozess 15 (7.77%)
Black-Scholes-Merton 1 (0.52%)

Das ARCH (1) und das Black-Scholes Merton liefern hier die besten Ergebnisse. Auf 193 Handelstage hat das Black-Scholes Merton nur an einem Tag einen VaR berechnet, welcher in der Realität unterboten wurde (der Verlust also höher war). Der Ausreisser Wiener Prozess (in ca. 8% der Fälle wurde der VaR durchbrochen) kann auf die Schätzfunktion und die untersuchten Handelstage zurückgeführt werden. 

 

Wie wir im oben referenzierten Blog dargelegt haben, ist nicht der VaR die wesentlichen Grösse, sondern der erwartete Verlust, falls der VaR durchbrochen wird. Auf das Beispiel gemünzt: Wenn wir einen Verlust höher als $ 39'416 haben, wie hoch wird dieser im Durchschnitt sein? Diese Grösse haben wir als Conditional-Value-at-Risk festgehalten (CVaR). 

 

Um diese Grösse zu bekommen, werden die 100'000 Iterationen aufsteigend in Excel sortiert (dies kann über Excel-Formeln oder mittels der in MC FLO eingebauten Sortierfunktion umgesetzt werden) und von den ersten 1'000 Iterationen (welche die 1% widerspiegeln) der Mittelwert berechnet. 

Modell CVaR (bei 99% Konfidenzniveau)
ARCH (1) $ 48'104
ARCH (1), mit Korrelation $ 52'612
Wiener Prozess  $ 25'305
Black-Scholes-Merton $ 34'911

Das Ergebnis lässt sich sodann wie folgt interpretieren: Im Fall, dass der VaR durchbrochen wird, beträgt der mittlere Verlust beim ARCH (1) Modell $ 48'104 oder anders ausgesprochen: Das Portfolio wird beim Durchbrechen des VaR im Mittel bei $605'051 zu liegen kommen. 

 

Falls der Verkaufspreis bei $600'000 liegt, wäre beim VaR Ansatz mit einem Ausfall von unter 1% zu rechnen (dies natürlich unter der Annahme, dass es zwischenzeitlich keinem gelingen sollte, Gold und Silber quasi aus dem Nichts zu erschaffen). Und auch wenn der VaR durchbrechen werden sollte, ist im Schnitt mit einem Portfoliowert zu rechnen, welcher den Verkaufspreis übersteigt. Die Hinterlegung der Wertschriften als Tauschobjekt ist daher in diesem Fall mit geringen Risiken verbunden. 


Update (18.09.2017): Die Wurzel-T Regel ist kein generelles Instrument, um den VaR eines Tages auf eine beliebige Haltedauer zu projizieren. In einem anderen Blog werden wir Ihnen aufzeigen, wie Sie mit Simulationen eine solche Projektion durchführen können.

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