Optionen - mit Simulationen!

Auch wir können die Zukunft nicht vorhersagen. Wenn wir es könnten, wären wir nicht hier und würden diesen Artikel schreiben. Na ja, nicht ganz. Wir lieben die Welt der Simulationen und entdecken mit ihr immer wieder neue Facetten. Auch solche, die wir nicht genau kennen aber trotzdem Spass machen können. Da kommen uns Optionen gerade recht. 

 

Täglich erleben wir es in den Nachrichten. Da werden Charts von Börsenkursen präsentiert und die nächste Krise oder eine Aktienrally vorhergesagt. Ob das eine oder andere zutrifft, wissen wir nicht. Aber trotzdem macht es Sinn, sich Gedanken über die Zukunft zu machen. Für viele Unternehmen sind die zukünftigen Preise von Rohstoffen essentiell, da diese die Produktionskosten wesentlich beeinflussen. Durch bestimmte Konstrukte können Unternehmen die Produktionskosten minimieren oder zumindest dessen Schwankung verringern, was eine Unternehmensplanung ermöglicht.


Schauen wir uns die Kurse von Platin an, einem Material das von der Autoindustrie in hohen Masse gekauft und unter anderem in Katalysatoren Einsatz findet. Der Schlusskurs von Platin notierte am 27.07.2017 bei 923,5 US Dollar (je Feinunze, ca. 31,10 Gramm). Über die letzten 305 Handelstage (knapp einem Jahr) wurden folgende Schlusskurse realisiert, welche graphisch aufbereitet sind (alle Daten werden im folgenden Excel zur Verfügung gestellt). 

Unser Beispielunternehmen plant am 27.10.2017 in hohen Mengen Platin für die nächste Produktionscharge einzukaufen. Es möchte nicht mehr als 950 US Dollar je Feinunze ausgeben und entscheidet hierfür ein Optionsgeschäft einzugehen. Es zahlt einen Preis heute für die Chance, am besagten Stichtag je Feinunze Platin nur 950 US Dollar zahlen zu müssen (Kaufoption). Es liegt auf der Hand, dass das Unternehmen die Option nur dann einlösen wird, wenn der Kurs an diesem Tag über 950 US Dollar liegt. Welcher Preis sollte aber für die Option heute bezahlt werden und wie können wir dieses Problem mit Simulationen lösen?


Als ersten Schritt schauen wir uns die am 28.07.2017 gehandelten Optionen auf Platin mit dem Ausübungspreis von 950 US Dollar per 27.10.2017 an. Eine Suche auf gängigen Plattformen zeigt uns Preise zwischen 21 und 23 US Dollar je Feinunze an (Stand 12h). Im ersten Fall ergibt sich dieser Preis bei einer implizierten Volatilität von 21,02% und im letzten Fall bei einer von 21,28%.

 

Eine Auswertung der tatsächlichen Rendite über die letzten 305 Handelstage deckt auf, dass die (jährliche) Volatilität in diesem Zeitraum ca. 18,9% betrug, also knapp unter dem Minimum von 21,02% liegt. Die Ursachen können vielfältig sein. Zum einen kann es sein, dass die Plattformen eine unterschiedliche Annahme zu den Handelstagen treffen oder einfach eine andere Zeitreihe zur Bestimmung der Volatilität herangezogen haben.


Nun zur Bewertung. Wir möchten drei Verfahren vorstellen, mit denen eine Bewertung der Option mit MC FLO vorgenommen werden kann.


Als Erstes versuchen wir die oben beschriebene Zeitreihe einem Prozess zuzuordnen. Hier bietet sich in erster Linie der Wiener Prozess an, der in MC FLO als Standard Wiener Prozess (mit Drift und durchschnittlicher Rendite) implementiert ist. Hierzu markieren wir die Schlusskurse in Excel beginnend vom 28.07.2016 bis 27.07.2017 und wählen unter «Schätze Verteilung» den Verteilungsschätzer von MC FLO auf und markieren die Option «Schätzung Zeitreihe» und bestätigen mit «Schätze». Nach einigen Prüfungen und Berechnungen zeigt uns MC FLO folgenden Vorschlag an, 

den wir in der Berechnungstabelle in Zelle E12 übernehmen. Hierbei stützten wir uns aber nicht auf den ersten Punkt der Datenreihe (also den 28.07.2016) ab, sondern übernehmen den 27.07.2017 als Starttermin.

Wer genau hinschaut, entdeckt in der Formel einen neuen (bisher in Sotelo nicht sichtbaren) Parameter nach der Variablenbezeichnung. Die Referenz auf Zelle E21 gibt die Restlaufzeit ab dem Bewertungsdatum (28.07.2017) bis zum Ausübungsdatum (27.10.2017) in Handelstagen an. In unserem Fall sind es 84 Tage. Mit dieser Erweiterung bilden wir mögliche Kurse per Stichdatum ab. Falls der Kurs am Ausübungstag über dem Ausübungspreis von 950 US Dollar liegt, wird die Option eingelöst, andernfalls verfällt diese mit Wert 0. Diese Formel ist in Zelle E13 hinterlegt. Für den risikolosen Zinssatz über die Restlaufzeit nehmen wir den Wert 0 an.   


Wer ein bisschen in der Literatur stöbert, wird unweigerlich darauf stossen, dass das Heranziehen eines Wiener Prozesses (oder auch geometrisch Brownschen Bewegung) nur dann Sinn macht, wenn die logarithmierten Renditen normalverteilt sind (die konkrete Berechnung kann dem Excel entnommen werden). Ohne einen – mit MC FLO durchführbaren – Test auszuführen, zeigt das Histogramm der logarithmierten Renditen auf, dass diese in der Tat nicht einer Normalverteilung folgen, was das Heranziehen eines anderen Zeitprozesses, hier eines ARCH Prozesses, rechtfertigt.  

Anstatt auf die logarithmierten Renditen aufzusetzen, reicht es uns, die Differenzen zu erfassen und diesen als ARCH Prozess darzustellen.

 

Wir fahren analog wie beim Wiener Prozess fort. Wir markieren nun aber die Differenzen und lassen die Schätzung durch MC FLO durchführen. Das Resultat sehen Sie hier:  

Das Ergebnis übernehmen wir in Zelle E16 und auch hier mit der Erweiterung der Anzahl Tage. Das Resultat ist gemäss unserer hier definierten ARCH Spezifikation die absolute Abweichung nach 84 Handelstagen vom Referenzkurs. Zum Schluss bilden wir wieder die Formel der Optionsbewertung ab («Call price ARCH»).


Als Letztes greifen wir in Zelle E24 direkt den «Black-Scholes-Merton» Ansatz auf. Dieser erlaubt es uns anhand einer vorab definierten Volatilität direkt den Endpreis per Ausübungsdatum zu bestimmen. Wir nehmen als Volatilität die einleitend erwähnten 21,03% auf, welche gemäss einer Handelsplattform einen Optionspreis von 23 US Dollar pro Feinunze per 17h Nachmittags ausgab (aufgefasst als «Bid» Preis, der «Ask» Preis lag bei 29 US Dollar).

Eine Simulation mit MC FLO und nach 200'000 Iterationen zeigt folgendes Ergebnis:

Wie nicht anders zu erwarten, generiert der erste Ansatz (Modellierung eines Wiener Prozesses) den geringsten Call Preis (16,83 US Dollar per Feinunze), was auf die geringere Volatilität der untersuchten Zeitreihe zurückgeführt werden kann. Die direkte Bestimmung anhand des «Black-Scholes-Merton» Ansatzes oder über den ARCH Prozess führen zu ähnlichen Ergebnissen, wobei der ARCH Prozess leicht höhere Call Preise offenbart. Beide liegen innerhalb des Ask-Bid Korridors. Je nach regulatorischen oder steuerlichen Auflagen und unter Berücksichtigung von allfälligen Gebühren bei Käufern und Verkäufern resultiert ein Unterschied zwischen dem Preis, welcher der Käufer bereit ist zu zahlen («Bid») und demjenigen Preis, welcher der Verkäufer verlangt («Ask»). Diese Transaktionskosten haben wir hier aber nicht berücksichtigt. 

 

Eine detailliertere Analyse des ARCH Prozesses zeigt auf, dass die resultierenden Werte per Stichtag nicht einer Normalverteilung folgen,  sondern «spitzer» verlaufen, was anhand der Kurtosis bestätigt werden kann und mit ausschlaggebend ist, dass der mittels des ARCH Ansatzes ermittelte Optionspreis höher als beim Black-Scholes-Merton Ansatz zu liegen kommt. 

Fazit: Mit MC FLO ist es (hoffentlich bald) problemlos möglich auch mit Monte-Carlo Simulationen eine Bewertung von Optionen vorzunehmen. Aber wie in vielen Fällen erscheint es uns sinnvoll, dass Sie nicht blind einem Modell vertrauen. Halten Sie stets nach Alternativen Ausschau und treffen Sie erst dann eine Entscheidung. Mit MC FLO wird diese Entscheidung - so hoffen wir - einfacher. 

 

Schreiben Sie uns, ob Ihnen die hier vorgestellten Erweiterungen von MC FLO gefallen und wir diese umsetzen sollten oder nicht. Ihr Anregungen sind uns Platin wert! 


Update (07.08.2017): Seit dem 31.07.2017 sind die dargestellten Erweiterungen in MC FLO enthalten.

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