Simulationen und Portfolios

Unternehmen streben nach Gewinn, Investoren nach Rendite. Es ist wohl den Arbeiten des Ökonomen Harry M. Markowitz (Quelle: wikipedia, aufgerufen im Januar 2017) geschuldet, dass wir heute viel über das Verhalten von Investoren wissen. Mittels Simulationen lässt sich dieses in ihrer Grundform auch spielerisch nachvollziehen.

Die Markowitz begründete Portfoliotheorie erklärte das zum Zeitpunkt seiner Analyse beobachtbare Verhalten von Investoren, welche ihr Kapital in verschiedene Anlagenklassen (Aktien, Währungen etc.) investierten. Er unterstellte dabei, dass Investoren risiko-avers (risikoscheu) und bei Anlagen mit gleicher mittlerer Rendite diejenige Anlage gegenüber einer anderen Anlage bevorzugen, welche die geringere Abweichung möglicher Realisierungen vom Erwartungswert aufweist. Mittels Diversifikation, also der breiten Streuung des Vermögens in verschiedene Anlageklassen, würde der Investor sein Vermögen maximieren. Dabei nahm er an, dass Renditen normalverteilt und folglich symmetrisch sind. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Rendite 20% über dem Erwartungswert zu liegen kommt, ist bei symmetrischen Verteilungen genauso so hoch, wie diejenige bei Unterschreitung des Erwartungswertes um 20%.

 

Wie seht das Ergebnis unter Anwendung einer Monte-Carlo Simulation aus? Betrachten wir drei Anlagen, welche zu gleichen Anteilen in einem Portfolio gehalten werden.

Alle drei Anlagen weisen unter Zugrundelegung einer Normalverteilung die Erwartungswerte und Standardabweichung gemäss der Angaben aus Spalte K und L aus. Es werden drei Portfolios betrachtet. Im ersten Fall wird die Annahme getroffen, dass die Anlagen unabhängig und folglich unkorreliert sind (umgekehrt kann aus fehlender Korrelation nicht Unabhängigkeit geschlossen werden). Beim zweiten Portfolio sind die Anlagen negativ (Korrelationskoeffizient: -0.3) und beim dritten Portfolio positiv korreliert (Korrelationskoeffizient: 0.3). Für alle drei Anlagen wird im Mittel eine Rendite von 2.5% ausgewiesen.

 

Die von Markowitz vorgesehene Anlagestrategie mündet in eine Reduktion der einzelnen Anlagenrisiken durch das Halten eines diversifizierten Portfolios. Dabei bedeutet Diversifikation, dass die einzelnen Anlagen zumindest nicht perfekt positiv korreliert sind. Bei positiver Korrelation steigt die Rendite einer Anlage, wenn die assoziierte Anlage ebenfalls steigt und umgekehrt. Bei negativer Korrelation liegt der andere Fall vor. Die Rendite einer Anlage fällt, wenn die Rendite der assoziierten Anlage steigt.

 

Bei einer mehrdimensionalen Normalverteilung führt eine Korrelationsbeziehung (im Sinne von Spearmans Rho) zur Bildung von symmetrischen Paaren der jeweiligen (Rand-)Verteilung. Bei einer positiven Korrelation addieren sich die Werte der jeweiligen Extremwerte im gleichen Umfang - die Standardabweichung nimmt insgesamt zu. Im Gegensatz werden bei einer negativen Korrelation die Ausprägungen der Extremwerte abgeschwächt, was zu einer Verringerung der Standardabweichung oder Allgemein zur Reduktion des Risikos führt.

 

Bei einer geringen Anzahl von Anlagen lassen sich die Standardabweichungen der oben definierten Portfolios numerisch noch einigermassen einfach ermitteln. Mit zunehmender Anzahl verliert das Ganze jedoch an Übersichtlichkeit. Abhilfe können dann Simulationen schaffen, welche neben der Simulation der jeweiligen Normalverteilungen auch die entsprechenden kombinierten Standardabweichungen ausgeben.

 

Schauen wir uns dies mit MC FLO genauer an. Und in der Tat: Bei Annahme negativer Korrelationen (Portfolio P_2) sinkt die Standardabweichung, während sie bei positiver Korrelation (Portfolio P_3) gegenüber dem Fall unkorrelierter Anlagen (Portfolio P_1) zunimmt.     

Ein optimales Portfolio bestünde dann bei gegebenem Risikoprofil aus denjenigen Anlagen, welche die Standardabweichung minimiert. Aufgrund der oben dargestellten negativen Korrelation darf aber nicht der Schluss gezogen werden, dass das Portfolio allein aus negativ korrelierten Anlagen bestehen müsse. Im Regelfall sind nur wenige Anlagen eindeutig negativ korreliert. Daher besteht bei einer geringer Anzahl von Anlagen im Portfolio die Gefahr, dass Abhängigkeiten zwischen diesen Anlagen und nicht im Portfolio enthaltenden Anlagen unberücksichtigt bleiben und folglich weitere risikominimierende Anlagen ausgeschlossen bleiben.   

 

Die von Markowitz begründete Portfoliotheorie ist nicht zuletzt durch die 2007 ausgebrochene Finanzkrise in Kritik geraten. Zum einen wird bemängelt, dass Renditen nicht normalverteilt sind (was empirisch bestätigt ist) und zum anderen, dass der Risikobegriff allein auf die Varianz zurückgeführt wird. Es muss jedoch Markowitz zu Gute gehalten werden, dass er zu seiner Zeit kaum auf die heute rechnergestützten Verfahren und Simulationsmodelle zurückgreifen konnte, um seine Beobachtungen im Detail nachzuberechnen. Im Kern ist die Diversifikationsannahme aber weiterhin stabil.

 

Mit Simulationsprogrammen wie MC FLO können Sie eine Vielzahl von Verteilungen für Ihre Berechnungen heranziehen und die Ergebnisse miteinander vergleichen. Seien Sie trotzdem kritisch mit Ihren Annahmen und lassen Sie sich nicht auf das beschränken, was Sie bereits kennen.

 

Viel Spass mit der Simulation!  

 

P:S: Die oben dargestellten Erwartungswerte (Mittelwerte) weichen vom korrekten Wert (jeweils 2.5%) leicht ab. Dies ist - wie bereits in anderen Blogs dargestellt - der Tatsache zurückzuführen, dass Simulationen eine Stichprobe einer unbekannten Grundgesamtheit darstellen, welche in unseren Fall bei 10'000 Iterationen als genügend approximativ eingestuft wird.

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